miércoles, 26 de noviembre de 2014

TEMARIO




Estos fueron los temas que vimos durante todo el semestre :)
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jueves, 20 de noviembre de 2014

UNIDAD 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICIALES

DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistema lineal general

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES



Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tresmatrices, de la siguiente forma:
(2) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1Y} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2Y} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{X1} & a_{X2} & \cdots & a_{XY} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_X \end{pmatrix}
La primera es la matriz de coeficientes, donde el término a_{ij}\, representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las Y\, incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada b_i\, representa al término independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_X \end{pmatrix}
Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término b_i\, se corresponderá con el de la incógnita x_i\,. Si queda alguna fila del tipo \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & b_X \\\end{pmatrix}, con b_X\ne0\,, el sistema no tendrá solución.
Ejemplos:
  • Un sistema lineal incompatible es \{54x-36y = 9, -54x+36y = 30 \}, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.
  • Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es \{ x+y= 1, 2x+2y = 2\} ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.
  • Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es \{ 2x+3y=9, 3x-2y=7\} cuya solución única es y = 1 y x = 3.





 TIPOS SISTEMAS DE ECUACIONES















SISTEMAS DE ECUACIONES
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.


















DEFINICIÓN DE MATIZ
En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describirsistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar lasaplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

MATRICES






PRODUCTO DE MATRICES 
El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectorialesentre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.



TIPOS DE MATRICES

Matriz antisimétrica:

Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de la traspuesta.
Todos los elementos de la diagonal principal han de ser iguales a cero ya que no existe el , existe el cero. No existe el menos cero ni el más cero. Es un concepto. Existe una pera o no existe una pera. No puede existir la pera.
Conviene leer despacio para no liarnos.
Observa la matriz siguiente:
Se trata de una matriz antisimétrica porque  
Comprueba y verás que los valores de las filas de la primera coinciden con los opuestos de los valores de las columnas de la segunda.

Ejercicio #5  Si trazamos una línea por la diagonal principal (eje de simetría) y doblásemos por ella el papel ¿coinciden los valores simétricos?
Respuesta: No, coinciden sus valores opuestos.

Matriz escalonada:
Se dice que una matriz es escalonada cuando al principio de una fila hay un cero más que en la fila anterior:

Al principio de la segunda fila hay un cero más que al comienzo de la fila anterior que es la primera.
Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la segunda.
Al comienzo de la cuarta fila hay tres ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la tercera.

Ejercicio #6   ¿Son escalonadas la matrices A y B:
Respuesta: Sí. Los elementos nulos o ceros en nuestro caso, cuentan a partir del comienzo de cada línea.
                     
Ejercicio #7  ¿Es escalonada la matriz:

Respuesta: No, porque al comienzo de la tercera fila hay 2 ceros, lo mismo que en la 2ª. Si en la 3ª hubiera tres, entonces sí sería escalonada.

Matriz diagonal:
Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros:

Matriz identidad:
Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:
Matriz identidad:
Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz triangular superior:
Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:

Matriz triangular inferior:
Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos:

Existen otros tipos de matrices que proceden como resultado de operaciones entre ellas.

TIPOS DE MATRICES

MATRIZ IDENTIDAD 














RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE REDUCCIÓN DE MATRICES  
















INVERSA DE MATRICES 








REDUCCIÓN DE GAUSS


MÉTODO DE GAUUS - JORDAN






DETERMINANTES









ADJUNTA DE UNA MATRIZ












MATRIZ N X N






CALCULO DE LA INVERSA






REGLA DE CRAMER 







CONCLUSIÓN: En lo personas este tema fue uno de los mas difíciles que vi y la verdad me predi un poco ya que son muy laboriosos y tiendo a equivocarme con frecuencia.





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